انجمن علمی ریاضی دانشگاه سمنان

جواب سوال (1):

فرض کنید تعداد افرادی که با هر دونفر دست می دهند n باشد .شخص a را در نظر بگیرید ، فرض کنید
B={افرادی که با a دست داده اند}
C={افرادی که با a دست نداده اند}
می دانیم
lBl=3k+6      ,     lCl=9k-7
اگر b عضو B باشد ، افرادی که هم با a و هم با b دست می دهند در B هستند ،پس b با n نفر در B دست می دهد و با 3K+5-n نفر در C .
اگر c عضو C باشد همه افرادی که هم با a و هم با c دست می دهند در B هستند پس c با n نفر در B دست می دهد.
پس در مجموع تعداد دست دادنهای بین B و C رابطه زیر را نتیجه می دهد:

حال برای داریم 12k-1<9k+43 و 4m صحیح نخواهد بود.و برای ، فقط برای k=3 جواب صحیح داریم ، پس 36 نفر در مهمانی شرکت کرده اند.
و در اینجا حل مساله کامل است.

جواب سوال (2):

اگر n=4k+r باشد (k عدد صحیح نامنفی و r برابر است با 1,2,3یا 4 ) در این صورت رقم یکان عدد با رقم یکان عدد برابر است زیرا ، در نتیجه بنابراین رقم یکان عدد برابر است با رقم یکان ، یا ، یا
و یا ، یعنی رقم یکان مطلوب برابر است با صفر یا 4.
و دراینجا حل مساله کامل است.

منبع:   www.euler.blogfa.com