آیا ریاضیات زیباست؟
هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه سرسبز آرامش مییابد و در عین حال به فکر فرو میرود.شاعر احساس ناشی از مشاهده خود را با شعر و نقاش با قلم و بوم بیان میکند. گیاهشناس در پی گیاه مورد نظر خود است و زبان شناس در پی یافتن ریشه نامگذاری آن و داروشناس در جستجوی ویژگیهای درمانی آن است و ریاضیدان نحوه قرار گرفتن برگ و گلبرگها یا اندازه و شکل آنها را مورد مطالعه قرار میدهد. ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان پس علت این گوناگونی در رابطه بین گیاه و انسان، وجود جنبههای گوناگون و گسترده انسان و تجلی آنها در شرایط مختلف است. با مطالعه نقل قولهای ریاضیات ریاضیدانان، در مییابیم بسیاری از آنها از ریاضیات لذت میبرند و از آن به عنوان یک هنر زیبا و خلاق تعبیر میکنند:
« من مفتون ریاضیات هستم، زیرا به عنوان علم، دقت و قدرت آن، و به عنوان هنر زیبایی آن در حد کمال است، بعلاوه فواید و موارد استعمالش از شمار بیرون است. » (دکتر غلام حسین مصاحب)
« من به ریاضیات فقط به عنوان یک هنر خلاق علاقه دارم. » (جی. اچ. هاردی[1][1])
گاه نیز آن را با موسیقی و شعر یا حتی نقاشی مقایسه میکنند:
«موسیقی لذتی است که ذهن انسان از شمردن تجربه میکند، بدون اینکه بداند آن شمارش است. » (لایب نیتز)
« ریاضیدان بودن ولی شاعر نبودن غیرممکن است. » (سوفیا کوالیفسکایا[2][2])
« یک ریاضیدان مانند یک نقاش یا شاعر، سازنده الگوها است. اگر الگوهای او از آنها ماندگارترند، به این دلیل است که با اندیشهها ساخته میشوند. » (جی.اچ. هاردی) برتراند راسل[3][3]، ریاضیدان و فیلسوف انگلیسی، زیبایی ریاضیات را به این صورت توصیف میکند:
« ریاضیات، همان طور كه به درستي نمايش داده ميشود، نه فقط از صداقت بلكه از زيبايي بسيار برخوردار است. يك زيبايي سرد و سخت همانند مجسمه سازي، بدون هيچ شباهتي به دنياي طبيعي ما، بدون زرق و برقهاي فريبنده نقاشي و موسيقي، در عین حال در حد اعلاء مجرد و داراي كمال بسيار همانند آنچه يك هنر باشکوه ميتواند نشان دهد. روح كامل لذت، سرافرازي، حس فراتر از انسان بودن كه محك برتری است، در ریاضیات همانند شعر یافت میشود. »
پل اِردُس[4][4] از ریاضیدانان نامدار، نظر خود را نسبت به غیرقابل وصف بودن زیبایی ریاضیات چنین بیان میکند:
« چرا اعداد زیبا هستند؟ این مانند این است که بپرسیم چرا سمفونی نهم بتون زیبا است. اگر شما نمیفهمید "چرا؟" ، کسی نمیتواند به شما بگوید. من میدانم اعداد زیبا هستند. اگر آنها زیبا نباشند هیچ چیز دیگر هم نیست. »
پل هالموس[5][5] ریاضیات را چنین توصیف میکند:
« ریاضیات قطعیت، صدق، زیبایی، بصیرت و یک معماری باشکوه است. من ریاضیات را به عنوان بخشی از دانش بشری، چیز عظیم و مجللی میبینم. »
همچنین او بهترین جنبه یک ریاضیدان بودن را چنین توصیف میکند:
« من مردی مذهبی نیستم اما وقتی درباره ریاضیات فکر میکنم احساس میکنم که در تماس با خداوند هستم. »
اما به راستی چگونه است که ریاضیدانان ریاضیات را حتی بالاتر از هر هنری دیگری زیبا و جذاب میبینند؟ آیا تا به حال سعی در کشف این زیباییها کردهاید؟ شاید اولین ابزار برای درک این زیباییها داشتن علاقه قلبی به ریاضیات باشد. کسی واقعاً میتواند زیباییهای موجود در ریاضیات را عمیقاً درک کند که به آن دلبسته و وابسته باشد. در اینجا سعی میکنیم برخی از جنبههای زیبای ریاضیات را به شما دلبستگان ریاضیات معرفی کنیم.
یکی از جنبههای زیبای ریاضیات، روند منطقی و روشهای زیبایی است که در برهانها و استدلالهای ریاضی دیده میشود. بسته به مفهوم این زیبایی تعابیر گوناگونی دارد:
· برهانی که در آن از حداقل فرضها و نتایج قبلی استفاده میشود.
· برهانی که به طور غیر معمول کوتاه است.
· برهانی که براساس زیرکی و روشهای جدید طراحی میشود.
· یک روش برهان که به آسانی قابل تعمیم برای حل یک دسته از مسائل مشابه است.
در جستجوی یک برهان زیبا، ریاضیدانان برای اثبات نتایج گاهی به جستجوی راههای مختلف میپردازند. اولین برهانی که بدست میآید ممکن است بهترین نباشد. قضیهای که بیشترین تعداد برهان را به خود اختصاص داده است قضیه معروف فیثاغورس است که تاکنون بیش از سیصد برهان مختلف برای آن ارائه شده است. قضیه دیگر که با روشهای مختلف به اثبات رسیده است قانون زیبای تقابل مربعی گاوس است. کارل فردریش گاوس، خود به تنهایی هشت برهان مختلف را برای آن منتشر کرده است.
در نقطه مقابل نتایجی که از لحاظ منطقی درست هستند اما اثبات آنها محاسبات خسته کننده و روشهای بیش از حد طولانی نیاز دارند، یا از تعداد بیش از حدی از اصول موضوع و نتایج قبلی استفاده میکنند معمولاً نازیبا تلقی میشوند. نمونهای از تاریخیترین و جالبترین آنها برهان قضیه آخر فرما است که توسط ریاضیدان انگلیسی، اندرو وایلز برای نخستین بار ارائه شد. او پس از یافتن برهان در یک کنفرانس ریاضی به تشریح آن پرداخت و با تعداد بیش از حد و اندازه قضایا و نتایجی که در برهان خود به کار برده بود همه حاضرین را حیرت زده کرد. اثبات او بالغ بر دویست صفحه است.
برخی ریاضیدانان زیبایی را در نتایجی میبینند که که بین بخشهایی از ریاضیات که در درجه اول مجزا و مستقل از هم به نظر میرسند. رابطه ایجاد میکنند. این نتایج معمولاً نتایج عمیق خوانده میشوند. با وجود اینکه رسیدن به یک توافق کلی که چه نتایجی عمیق هستند، دشوار است اما برخی نمونههای آن مورد توافق همگان است.
همه شما با اعداد مختلط و فرمول اویلر آشنایی دارید که بیان میکند
این فرمول را زیباترین فرمول ریاضیات میخوانند و میگویند یک ریاضیدان واقعی هیچگاه از دیدن آن خسته نمیشود. حتماً تابه حال متوجه زیبایی نهفته در آن شدهاید. اگر نه با دیگر با دقت به اجزای آن نگاه کنید. چه میبینید؟
همچنین این فرمول بین سه شاخه مهم ریاضیات ارتباط برقرار میکند گویی هریک نمایندهای از خود در این فرمول دارند، حساب با عدد
«این مطمئناً درست است؛ این قطعاً منتاقضنما است؛ ما نمیتوانیم آن را بفهمیم، و نمیدانیم چه معنی میدهد، اما ما آن را ثابت کردهایم، و بنابراین میدانیم که باید درست باشد.»
نمونه آشنای دیگری از نتایج زیبا را میتوان در هندسه یافت. هندسه، به مفهوم عام آن، زمینهای است سر شار از زیبایی. میگویند افلاطون ، تقارن را مظهر و معیار زیبایی میدانست و چون، گمان میکرد تنها هندسه است که میتواند رازهای هندسه را بر ملا کند و از ویژگیهای آن برای ما سخن بگوید ، به هندسه عشق میورزید و بر سر در آکادمی خود نوشته بود:
« هر کس هندسه نمی داند وارد نشود »
و هنوز هم ، با آن که هنر کوبیسم بسیاری از سنتها را درهم شکسته است و زیباییهای خیره کنندهی نا متقارنی را آفریده، باز هم از قدر و قیمت تقارن چیزی کاسته نشده است ، و چه مردم عادی و چه صاحب نظران ، همچنان اوج زیبایی را در تقارن و تکرار میبینند. شاید بتوان گفت که کوبیسم ، مفهوم زیبایی ناشی از تقارن را، گسترش داده و تکامل بخشیده است.
در هندسه وقتی پاره خطی را طوری به دو بخش تقسیم کنیم که مجذور بخش بزرگتر برابر با
حاصل ضرب تمام پاره خط در بخش کوچکتر باشد، میگویند که پاره خط را به نسبت طلایی[7][7] تقسیم کردیم. تقسیم پاره خط به نسبت طلایی از دوران یونان باستان شناخته شده بوده است و ریاضیدانان یونان باستان مستطیلی را که روی این دو بخش پاره خط ساخته شود زیباترین مستطیل میدانستهاند و آزمایش فوق توانست درستی نظر ریاضیدانان باستانی را تایید کند.دربارهی نسبت طلایی باید یادآوری کرد که از همان دوران باستان ، از این نسبت در مجسمه سازی و معماری به فراوانی استفاده میکردهاند. همچنین پیشرفت هندسههای جدید مانند هندسه فراکتالها موجب پیدایش اشکال جدید و زیبا شدهاند.
درک زیبایی و لذت موجود در کار با اعداد و نمادها هنگامی حاصل میشود که شما عملاً با ریاضیات درگیر باشید. هنگامی میتوان زیبایی ریاضیات را در حد اعلای آن درک کرد که با آن در تماس و تعامل بود. لذت بردن از ریاضیات در حالت انفعالی لذت و یا شاید امکان ناپذیر است.
در مقابل نتایج و برهانهای عمیق، نتایج سطحی و بیمایه وجود دارند. یک قضیه بیمایه قضیهای است که به طریقی آشکار و بیپرده بتواند از نتایج شناخته شه بدست آید، یا فقط اشیای خاصی را در نظر بگیرد.
بسیاری از ریاضیدانان معتقداند کار ریاضیدانان بیش از آنکه کشف کردن باشد، اختراع کردن است. این ریاضیدانان معتقداند نتایج دقیق و مفصل ریاضیات مستقل از دنیای بیرونی است که ما در آن زندگی میکنیم. به عنوان مثال، آنها ممکن است ادعا کنند نظریه اعداد طبیعی بدون هیچ نیازی به مفهوم و تعابر آن، اساساً معتبر است. برخی ریاضیدانان این عقیده را دارند که زیبایی ریاضیات حقیقت نهفته در آن است.
در فلسفه افلاطون، دو جهان وجود دارد. جهان فیزیکی که ما در ان زندگی می کنیم و جهان مجرد که حقیقتهای تغییر ناپذیر از جمله ریاضیان را در بردارد. او معتقد بود جهان فیزیکی انعکاسی است از دنیای مجرد. گویا این سخن از گالیله است که:
«ریاضیات زبانی است که خداوند بوسیله آن جهان را نوشته است.»
ریاضیدان مجاری، پل اِردُس اگر چه چندان به خدا معتقد نبود ولی همواره از کتابی خیالی سخن میگفت که خداوند زیباترین برهانهای ریاضی را در آن نوشته است. وقتی اردس میخواست از یک برهان تعریف کند، از روی تعجب فریاد میزد « این یکی از آن کتاب است »
این دیدگاه این ایده را بیان میکند که ریاضیات به عنوان قوانین درستی که جهان برپایه آن بنا شده است از سوی خدا است. آلاین بادو[8][8]، فیلسوف فرانسوی قرن بیستم معتقد است، ریاضیات همان هستی شناسی[9][9] است. او همچنین به رابطه عمیق بین ریاضیات، شعر و فلسفه معتقد است.
ریاضیات، به عنوان یک هنر زیبا
« وقتی که هوشمندانه با رمز و رازهای دور و بر خود برخورد کردم و وقتی به تجزیه و تحلیل مشاهدههای خود پرداختم، به ریاضیات رسیدم. من آموزش جدی در دانش ندیدهام ولی گمان میکنم بیشتر با یک ریاضیدان وجه مشترک داشته باشم تا با یک هنرمند. »
و رودن(1840- 1917 ) مجسمه ساز مشهور فرانسوی میگوید:
« من یک رویا پرداز نیستم، بلکه یک ریاضیدان هستم. مجسمههای من تنها به خاطر این خوباند که ساخته و پرداختهی اندیشهی ریاضیاند.»
از آن طرف ج. اچ. هاردی معتقد است:
« معیار یک ریاضیدان مانند معیار نقاس یا شاعر، زیبایی است. اندیشهها همانند رنگها یا واژهها باید در هماهنگی کامل و سازگار با یکدیگر باشند . زیبایی نخستین معیار سنجش است. »
کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال هم بدون تصور و خیال ممکن نبود. »
با هیچ نیرنگی، نمیتوان از کشش انسانها به سمت زیبایی جلوگیری کرد و آنچه زشت و نازیبا است را جانشین زیبایی کرد. آدمی، از همان روزهایی که میشنود، میبیند و درک میکند ، از موسیقی و تقاشی و شعر لذت میبرد و چه به صورت لالایی مادر باشد یا آهنگ گوش نواز چایکووسکی، چه بیتی عامیانه و کوچه باغی باشد یا سرودی از لسان الغیب ، چه قالیهای دست باف باشد و چه ظرافتها و رنگهای چشم نواز بهزاد و کمال الملک ، همه جا انسان را به سوی خود میکشاند و غرق در آرامش و لذت میکند . ولی همهی اینها، یک شرط اساسی دارد و آن، این است که با آفریدهای از یک استاد هنرمند سروکار داشته باشید و گرنه، حرکت ناشیانهی آرشه بر ویلون روح شما را میآزارد و ردیف بیربط واژههای شعر سخن ناشناس، شما را بیزار و کسل میکند. در واقع تمامی عرصهی ریاضیات سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را میتوان، در شیوهی بیان موضوع، در طرز نوشتن و ارائهی آن، در استدلالهای منطقی آن، در رابطهی آن با زندگی و واقعیت، در سر گذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد .
حال آفرینندهی انسان بوده است که چنین شکلها و جسم های به غایت ظریف و زیبا را ابداع کرده است و سپس کاربردهای عملی زیباتری هم برای آن ها یافته است.
[1][1] G. H. Hardy
[2][2] Sofia Kovalevskaya
[3][3] Bertrand Russell
[4][4] Paul Erdös
[5][5] Paul. R. Halmos
[6][6] Wolf prize
[7][7] Golden ratio
[8][8] Alain Badiou
[9][9] Ontology